Suites et récurrence : l'exercice le plus prévisible du bac
S'il y a une chose que la correction des copies m'a apprise, c'est celle-ci : l'exercice de suites est à la fois le plus prévisible du sujet et l'un des plus massacrés. Prévisible, parce que ses questions s'enchaînent dans le même ordre depuis des années : récurrence, variations, limite, suite auxiliaire. Massacré, parce que les élèves le traitent comme une découverte au lieu de dérouler un scénario connu. Mes élèves de Terminale le travaillent comme une chorégraphie : voici les pas.
L'exercice de suites du bac suit presque toujours le même scénario : démontrer une propriété par récurrence (initialisation, hérédité, conclusion : trois temps à rédiger rituellement), étudier les variations (signe de u(n+1) moins u(n)), en déduire la convergence (théorème de la limite monotone), puis déterminer la limite via une suite auxiliaire géométrique. Chaque question a une rédaction type qui se prépare à l'avance.
La récurrence : trois temps, rédigés comme un rituel
Initialisation : on vérifie la propriété au premier rang (souvent n = 0), calcul explicite à l'appui. Hérédité : on fixe un entier n, on écrit noir sur blanc « supposons que P(n) est vraie » (l'hypothèse de récurrence, que je fais encadrer à mes élèves), et on démontre P(n+1) en utilisant cette hypothèse à un moment identifiable. Conclusion : « la propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, donc par récurrence elle est vraie pour tout entier naturel n ». Cette phrase finale vaut des points à elle seule. Le piège que je corrige le plus : une hérédité où l'hypothèse de récurrence n'est jamais utilisée. Si vous n'avez pas eu besoin de P(n) pour prouver P(n+1), votre démonstration est fausse quelque part, ou la récurrence était inutile.
Variations et convergence : l'enchaînement classique
La question 2 demande presque toujours les variations. La voie royale : étudier le signe de u(n+1) moins u(n), en utilisant l'encadrement démontré à la question 1 (rien n'est gratuit dans cet exercice : chaque question nourrit la suivante). Vient alors la question de convergence, et son théorème fétiche : toute suite croissante et majorée converge (ou décroissante et minorée). Deux hypothèses, deux vérifications, une citation explicite du théorème. Attention au piège de niveau supérieur : ce théorème donne l'existence de la limite, pas sa valeur. Conclure « donc la suite converge vers 2 » parce que le majorant est 2 est faux : le majorant n'est pas forcément la limite.
La suite auxiliaire : le passage que tout le monde attend
Pour trouver la limite d'une suite arithmético-géométrique (u(n+1) = a·u(n) + b), le sujet introduit une suite auxiliaire, typiquement v(n) = u(n) moins ℓ où ℓ est le point fixe. Le scénario : montrer que (v(n)) est géométrique (calculer v(n+1) et faire apparaître q·v(n) : la rédaction doit faire ressortir le facteur), exprimer v(n) en fonction de n, en déduire u(n), puis passer à la limite (si la raison q vérifie |q| < 1, alors qⁿ tend vers 0). C'est mécanique au point que je le fais réciter : et c'est précisément ce caractère mécanique qui en fait des points sûrs le jour J, comme je l'explique dans la mécanique de la moyenne.
Le bonus moderne : la boucle de seuil
Une question Python s'invite régulièrement : « écrire une fonction qui renvoie le plus petit n tel que u(n) dépasse un seuil ». Le squelette while tient en six lignes et se prépare à l'avance : je l'ai détaillé dans le guide Python du bac. Points faciles pour qui l'a vu une fois, points perdus pour qui le découvre en épreuve.
Comment je fais travailler ce chapitre
Deux séances sur la récurrence seule, jusqu'à ce que la rédaction des trois temps soit un automatisme (c'est une figure imposée, comme une gamme). Une séance sur l'enchaînement variations-convergence. Une séance sur la suite auxiliaire de bout en bout. Puis un exercice complet de bac, chronométré, cours fermé, selon la méthode de recherche active. À ce stade, l'exercice de suites cesse d'être une épreuve : c'est une chorégraphie répétée, et les copies s'en ressentent dès le DS suivant.
Le raccourci : si vous voulez, on peut aussi en parler ensemble. On propose un appel diagnostic gratuit, une trentaine de minutes sans engagement, pour faire le point sur la situation de votre enfant et voir ce qui est jouable d'ici le bac. Voir les créneaux de l'appel gratuit.
Ce que les élèves me demandent sur les suites
À quoi sert l'hypothèse de récurrence si on suppose ce qu'on veut prouver ?
Quand utiliser u(n+1) moins u(n), et quand comparer u(n+1) et u(n) autrement ?
Peut-on dire qu'une suite croissante converge ?
En prépa, je suis passé de 6,2 à 17,9 de moyenne en changeant une seule chose : ma méthode de travail. J'accompagne aujourd'hui des élèves de Terminale en spé maths, avec un cours en direct chaque semaine, un suivi du travail entre les séances et un rapport envoyé aux parents tous les lundis. Mon histoire complète.
Vous voulez un avis honnête sur la situation de votre enfant ?
L'appel diagnostic de 30 minutes est gratuit : on fait le point ensemble, et on vous dit franchement si on peut l'aider, ou pas.